Viimeisellä kerralla lähdettiin tekemään vielä viime kevään matematiikan pääsykoetta. Tehtäväthän on kurssilla jo vastaantulleet, jos on tehnyt sopivat tehtävät kirjasta, mutta harvoinpa nämä yhdellä tekemällä ulkomuistista tulevat toisella kerralla vielä.
Kokeessa ykköstehtävä on sikäli visainen, että se sisältää peräti kuusi alakohtaa. Kustakin pisteestä joutuu siis tekemään oman tehtävänsä. Näissä tehtävissä on aina suuri riski menettää helppoja pisteitä; tässäkin kohdat ovat pääpiirteittäin hyvin yksinkertaisia, mutta samankaltaisina tehtävinä näissä on helppo tehdä virhe toistamalla edellisen kohdan ideaa vahingossa. Neliöjuuri ottamalla saadaan aina +/- vaihtoehdot, jos eksponentti on parillinen, epäyhtälöissä on muistettava purkaminen oikein; esimerkiksi |x|<2 puretaan -2<x<2 mutta |x|>2 puretaankin x>2 tai x<-2! Yksinkertainen asia, mutta nopeassa tehtävässä hyvinkin yleistä erehtyä näissä, jos yrittää säästää aikaa.
Kakkostehtävässä vain yksi epäyhtälötehtävä, jossa kuitenkin pieni itseisarvolauseke seassa. Tarkastelu jaettava siis osiin tämän lausekkeen nollakohdan mukaisesti. Toisessa tapauksessa saadaan toisen asteen yhtälö, johon käytettävä ratkaisukaavaa. Tämän jälkeen on huomattava, että paraabeli on negatiivinen vain nollakohtien välissä. Toisessa haarassa vakiotermit kumoutuvat, joten nollakohdat saadaan suoraviivaisemmin. Taas kerran epäyhtälö tosi nollakohtien välissä. Molemmissa tapauksissa on kuitenkin huomioitava itseisarvon poistamisen tuoma ehto, ja muokattava saatuja välejä sopivasti. Lopullisen vastauksen saa vielä yhdistämällä osatulokset mukavasti yhdeksi epäyhtälöksi. Simppeli tehtävä, jossa kuitenkin paljon tekemistä ja paraabelin muodolla muistettava perustella saadut välit.
Kolmostehtävän todennäköisyystehtävä on virheille altis. Jokaisessa kohdassa on huolellisesti mietittävä, mikä on se joukko, josta valinta tehdään ja kuinka monta milloinkin on niitä oikeita valintoja. Viimeinen kohta on hankalampi, sillä ensimmäinen valinta tehdään isommasta joukosta kuin toinen valinta. Tällöin on siis mahdollista, että 1. valinta on tehty myöskin siitä joukosta, mistä tehdään toinen valinta. On sis huomioitava kaksi erilaista tapaa 1. valinnalle, ja laskettava näiden tapausten todennäköisyyksien summa. Lisäksi kiinnitettävä huomiota toisessa tapauksessa siihen, millaisia määriä lamppuja onkaan jäljellä.
Nelostehtävä on melkoisen helppo. Ensimmäinen merkintä on uudennäköinen, mutta integraali kostautuu selkeäksi, kun katsoo huolella miten f ja g on annettu. Perusintegrointi, jossa oltava vain tarkkana miinusmerkkien kanssa alarajalla. Integroinnin tulos merkitään nollaksi, ja ratkaistaan toimiva arvo a.
Viitosessa tarvitsee hoksata ensin, kumpi käyristä on aina se ylempi käyrä, jotta saa etäisyysjanan muodostettua oikeinpäin. Muissa kohdissa tarvitaan etäisyyden derivaattaa, ja sen minimikohtaa etsitään asettamalla derivaatta nollaksi. Tässä kohtaa tutkintaa helpottaa jonkinlainen haarukointi; millä välillä minimin täytyy olla? Selvästi paraabelin arvot karkaavat suureksi, kun x:n itseisarvo kasvaa, kun taas toinen käyrä on aina korkeintaan neliöjuuri kahden suuruinen. Niinpä jo asettamalla |x|=2 paraabeli saa arvon 8, jolloin etäisyys on on vähintään 8 - neliöjuuri 2, mikä on suurempaa kuin etäisyys, kun x=0. Kun |x| kasvaa entisestään, niin etäisyys vain kasvaa kasvamistaan, joten minimietäisyys löytyy varmasti väliltä -2<x<2. Tämä on jo turvallinen väli, joten riittää tutkia vain ne nollakohdat, jotka mahtuvat tälle välille. Derivaatan nollakohtien etsinnässä on oltava tarkkana, jotta muistaa ottaa kosinille kaksi ratkaisuhaaraa, ja vielä pitää huomata, että tällöinkin mukana on vasta x:n neliö; se ei voi saada negatiivista arvoa, vaan toinen ratkaisuhaara on muunnettava positiiviseksi monikerran avulla. Tämä menee kuitenkin liian suureksi saadulle välille, joten nollakohtia jää tutkittavaksi vain 3kpl.
Kutostehtävässä on ensin osattava ratkaista ympyrän yhtälöstä y, ja sen jälkeen muodostettava tämän derivaatta tangenttia varten. Kulmakerroin edellyttää myös x-koordinaatin selvittämistä, kun ollaan korkeudella y=9/5, mikä voi helposti unohtua. Toisessa kohdassa on ensin muodostettava jokin paraabelin yhtälö, ja jotta sen voisi ratkaista, muodostettava lisäksi annettujen tietojen pohjalta 3 yhtälöä, jotka ovat voimassa paraabelin kertoimille. Syntyvän kolmen yhtälön ryhmän ratkaiseminen on työlästä, ja tuottaa ikäviä ratkaisuja (nimittäjänä 147). Yhtälöt saa muodostettua annetulla tiedolla maaosumasta, kun x=3 ja myös a)-kohdan tiedoilla tangentista (sama tangentti oltava, joten uuden paraabelin derivaatta samassa pisteessä oltava yhtä suuri) ja kyseisen pisteen kautta kulkemisesta.
Koe ei siis ole todellakaan mikään läpikävely, vaikka jokaisen tehtävän osaisikin periaatteellisella tasolla. Tehtävät sisältävät paljon kohtia, joissa vaaditaan perustelu seuraavalle prosessille. Nyrkkisääntö ratkaisemisessa onkin, että jos seuraava vaihe ei ole mekaaninen yhtälön sievennys tms. suoraviivainen operaatio, on aina syytä lyhyesti selittää/perustella, miksi tehdään se mitä seuraavaksi tehdään ja miksi näin voi tehdä. Esim. neliöjuuren ottaminen onnistuu, kunhan toinenkin puoli on ei-negatiivinen jne.
Pääsykoe on jo nurkan takana, ja nyt on aikaa enää lähinnä tehdä hyvin pieniä hienosäätöjä. Oleellisinta on löytää se mielentila, jossa on itse parhaimmillaan. Tunnillakin mainitsin ns. pingottamisen/stressaamisen sopivan lähinnä kilpailuhenkisille, jotka loistavat paineen alla. Puolestaan kokeissa heikommin yleensä suoriutuville ainoa keino on löytää sopiva asennoituminen; tämä on vain yksi koe monien joukossa, ja ainoa mitä voit tehdä on parhaasi juuri siinä hetkessä. Kenelläkään ei ole kuitenkaan mitään vaikutusvaltaa siihen, millaiset tehtävät nenän eteen tupsahtavat pääsykokeessa, joten liian pitkälle ei kannata asiaa miettiä.
Kiitos kaikille osallistujille kurssista. Oli ilo hikoilla kanssanne nämä kuukaudet, ja toivon kaikille teille menestystä jatkoa varten!
-Samuli
Ei kommentteja:
Lähetä kommentti